หากคุณถามคนที่รู้คณิตศาสตร์เล็กน้อยว่าสัญลักษณ์ i
มีความหมายสล็อตเว็บตรงว่าอย่างไร พวกเขาอาจจะบอกคุณถูกต้องว่ามันย่อมาจากรากที่สองของ -1 แต่มีความละเอียดอ่อนของคำถามที่มองข้ามได้ง่าย สมมติว่าคุณชี้ให้เห็นอย่างโจ่งแจ้งว่ามีรากที่สองของ -1 คำตอบมีแนวโน้มว่าสแควร์รูทอีกตัวคือ −i แต่ตอนนี้ มาคำถามที่ยากกว่ามาก: รากที่สองคือ i และอันไหนคือ −i
ยิ่งคิดเกี่ยวกับคำถามนี้มากเท่าไร ก็ยิ่งตระหนักว่าไม่มีคำตอบ อันที่จริง คำถามนั้นไม่สมเหตุสมผลนัก และนักคณิตศาสตร์ถึงกับมีวิธีพิสูจน์ว่ามันไม่สมเหตุสมผล แนวคิดคร่าวๆของการพิสูจน์คือสิ่งนี้ ถ้า z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ ซึ่งเขียนในรูปแบบปกติของ a + ib โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง เราจะกำหนดคอนจูเกตเชิงซ้อนของ z ให้เป็น − ib และแสดงจำนวนนี้ด้วย จากนั้นจะสามารถพิสูจน์ได้ว่า สำหรับจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนใดๆ ในศัพท์ทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันที่นำจำนวนเชิงซ้อนแต่ละจำนวนมารวมกันเป็นคอนจูเกตนั้นเป็นออโตมอร์ฟิซึ่ม เพราะมัน ‘คงไว้’ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน
เนื่องจากลักษณะอัตโนมัตินี้ จึงไม่มีประโยคทางคณิตศาสตร์ที่แท้จริงเกี่ยวกับ i ที่ไม่เป็นความจริงเท่ากันเมื่อการเกิดขึ้นทั้งหมดของ i (ทั้งโดยนัยและชัดเจน) ถูกแทนที่ด้วย −i นี่คือความหมายที่ i และ −i แยกไม่ออกจากกัน และเป็นเหตุผลที่เราไม่สามารถตอบคำถามได้: “สแควร์รูทใดของ -1 คือ i?” ในทางตรงกันข้าม เป็นไปได้ที่จะแยกความแตกต่างระหว่าง 1 และ -1 ตัวอย่างเช่น เนื่องจากกำลังสองของ 1 เป็นตัวมันเอง แต่กำลังสองของ -1 ไม่ใช่ตัวมันเอง
การเปลี่ยนแปลงอัตโนมัติเช่นนี้เป็น
‘ความสมมาตรที่กล้าหาญ’ ของชื่อหนังสือของ Avner Ash และ Robert Gross สิ่งเหล่านี้ถือได้ว่าเป็นสมมาตรเพราะเป็นการเปลี่ยนแปลงของวัตถุทางคณิตศาสตร์ (ซึ่งเป็นพีชคณิตมากกว่าเชิงเรขาคณิต) ซึ่งทำให้คุณสมบัติที่สำคัญไม่เปลี่ยนแปลง ปรากฎว่าการเข้าใจสมมาตรเหล่านี้ในสถานการณ์ที่ซับซ้อนมากขึ้นเป็นกุญแจสำคัญในการแก้ปัญหาที่ลึกที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ ตัวอย่างที่น่าสังเกตคือผลลัพธ์ที่ได้รับโดย Niels Henrik Abel และขยายโดย Évariste Galois ว่าไม่มีสูตรสำหรับการแก้สมการควินติกทั่วไป หรืออย่างน้อยไม่มีสูตรที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตและการหยั่งราก ตัวอย่างล่าสุดคือคำตอบของ Andrew Wiles ของทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat
Fearless Symmetry เริ่มต้นชีวิตด้วยการอธิบายบทความเพื่อช่วยให้นักคณิตศาสตร์ในด้านอื่น ๆ เข้าใจความสำเร็จที่โดดเด่นของ Wiles จากนั้นจึงเติบโตเป็นหนังสือ และเพื่อให้เข้าถึงได้ง่ายขึ้น ผู้เขียนจึงเพิ่มเนื้อหาพื้นหลังจำนวนมาก ผลที่ได้คือเริ่มต้นด้วยประโยคที่สุภาพมากมาย เช่น “เราเริ่มพิจารณากลุ่มโดยคิดถึงทรงกลมที่สวยงามสมบูรณ์แบบ รัศมีหนึ่งฟุต ทำจากหินอ่อนบริสุทธิ์” ในตอนท้ายจะมีประโยคเหล่านี้ตามมาด้วย เช่น: “โดยการคาดคะเนของโมดูลาร์ มีรูปแบบใหม่ที่ทำให้เป็นมาตรฐาน cuspidal ของระดับ N และน้ำหนัก 2 ซึ่งสำหรับจำนวนเฉพาะ w ทั้งหมดที่ไม่ใช่ปัจจัยของ N aw (f) = aw ( E) และด้วยเหตุนี้จำนวนเต็มคู่เหล่านี้เป็นโมดูโลที่เท่ากัน” ในระหว่างนั้น ระดับของความซับซ้อนก็เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้น ผู้อ่านทั่วไปจะพบว่าหนังสือเล่มนี้เริ่มต้นด้วยการครอบคลุมพื้นที่ที่คุ้นเคย จากนั้นจึงกลายเป็นเรื่องที่น่าสนใจและให้ข้อมูล และในที่สุดก็ยากเกินกว่าจะเข้าใจ ตำแหน่งที่เกิดการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้จะแตกต่างกันไปในแต่ละผู้อ่าน: ฉันเรียนรู้มากมายจากช่วงกลางของหนังสือและไม่มากจากส่วนที่สาม แต่นั่นก็เพียงพอแล้วที่จะทำให้มันคุ้มค่าที่จะอ่าน และบางทีวันหนึ่งฉันก็พร้อมที่จะอ่านบทต่อๆ ไป
ความผิดหวังเล็กๆ น้อยๆ อย่างหนึ่งคือหัวข้อที่มีแนวโน้มว่า: “การพูดนอกเรื่อง: เส้นโค้งวงรีนั้นยอดเยี่ยมอย่างไร” ใครก็ตามที่ได้ติดตามเรื่องราวของการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์จะเคยได้ยินว่าเส้นโค้งวงรีมีความสำคัญมาก แต่ก็ไม่ชัดเจนเลยจากคำจำกัดความที่นี่ว่าทำไมจึงควรเป็นเช่นนั้น เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้น ฉันหันไปที่ส่วนนั้นแล้วพบว่าคำตอบคือเส้นโค้งวงรีมีประโยชน์อย่างเหลือเชื่อสำหรับนักทฤษฎีจำนวน มีคำตอบสำหรับคำถามขอร้องน้อยกว่าในเล่มต่อๆ ไป แต่หลังจากนั้นก็ค่อนข้างยาก
แต่นั่นเป็นเพียงการพูดนอกเรื่อง โดยทั่วไปแล้ว ผู้เขียนควรได้รับการชื่นชมจากการใช้หัวข้อที่ยากมาก และทำให้เข้าถึงได้ง่ายกว่าที่เคยเป็นมา หากเข้าถึงไม่ได้อย่างเต็มที่สล็อตเว็บตรง
